中国的数学渊源与成就,中国珠算与珠心算的演变与发展。
2016-08-08
[作者] 神墨珠算博物馆

中国的数学渊源与成就

中国,是一个历史有五千年以上的古老国度,曾经在哲学、数学以及自然科学中都取得了辉煌成就,其文明程度也曾一度领先世界。

在古代世界四大文明中,中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪这1400年左右历史中达到巅峰。

周髀算经:

《周髀算经》是我国最早的天文著作,也是中国最古老的算书,成书时间一般认为在公元前1世纪。其系统地记载了周秦以来天文学成果,即周代(公元前11世纪)传下来的有关测天量地的理论和方法。历代的许多数学家为其作注,例如唐代的李淳风(公元602-670),此处也传入朝鲜和日本,那里也有许多翻刻注释本流传。

《周髀算经》中较为著名的一题便是勾股定理(a²+b²=c²)。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。据记载,在公元前1000多年,商高(约公元前1120年)首度提出,由三国时期(公元220年-280年)蒋铭祖记录,因此勾股定理在中国又称“蒋铭祖定理”。西方称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

另外,公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,得出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间。

与以证明定理为中心的希腊古典数学不同,中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程,乃至不定方程,中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”),他们用这些算法去求解相应类型的代数方程,从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是,几何问题也归结为代数方程,然后用程式化的算法来求解。因此,中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。

中国的历史中,有十三种算法流传于世,分别是:积算、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算(计数为第十四种,是指不用算计来计算)。历史学及数学领域专家们也曾着迷于这十三种算法的重现。

珠算——中华智慧耀眼的明珠

(二)算筹简介

凡用圆形物做算具,慢慢转化为珠算。

凡用条形物做算具,慢慢转化为筹算。

筹算有两种形状:(指1~9各数)


个位十位百位千位名为:一纵十横百立千僵

1     一   1     一(1)(一)(1)(一)

三重张位,五不单张。

三重即加法:被加数、加数、和数

减法:被减数、减数、差数

乘法:被乘数、乘数、积数

除法:被除数、除数、商数

五不单张,即,五,只用五竖或是五横,不能用一代五

孔子的教课内容又六种:

1、礼,有周礼,两周时代(公元21世纪至公元前16世纪)有国家礼法,叫周礼;有个人行为,叫礼数。

2、乐,乐器,如弹琴,吹喇叭等。

3、射,指学射箭。

4、御,指驾车。

5、书,指写汉字,讲究姿势和书法。

6、数、指计算,要会加减乘除。

这六种是孔子讲课的内容,按孔子与他的学生回答问题,多是仁、义、礼、智、信、温、良、恭、俭、让等良好品质和个人修养较多(见论语)。

(三)算盘演化过程

算盘之始,没有盘。珠子用绳子结扣或捡石子,土块代替。

到黄帝时代,有聪明人叫“隶首”。皇帝让他做计算工作。《数术记遗》,记有“隶首注数,乃有多种,其余遗忘,兹记数事而已。其一......”(上述十四种,都用“其一”在前,后面讲算法)。

算盘,到东汉后期(公元二百年左右),刘洪口述,徐岳笔录。把不规范的珠算,进化为规范:“刻版为三分,其上下一分,一定算位,位各五珠,上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五,其下四珠,珠各当一。这刻版为三分,就是用一块木制平方版,刻横二道,分出上、中、下三个部分,再顺向刻成槽沟,表示个、十、百、千位数。珠子散放在下槽里,有种带色的以1代5;不带色的,一颗代1。计算时用手(合手),用完放回。到唐代(公元618—907),人们又聪明多了,把散珠穿起来,每串五个珠,算盘当中加一横梁,周边加上框,形成“框、梁、挡、珠”,合成一体。这与现代算盘大致相同。只是体积偏大,珠子偏多。但比“珠算版”,散珠,用手(合手),大大进了一步。

(四)历史上辉煌的几个朝代

第一个辉煌时代是唐代。那时有珠算书《九章算术》,有算学馆等。

第二个辉煌时代是北宋,开封是首都。商店、药店、柜台上有算盘、名画“清明上河图”左端,赵太涵药店,柜台上有算盘。虽然是画工,可反映历史。

第三个辉煌时代是明代中后期,如吴敬著《九章详注比类算法大全》(1450),王文素著《算学宝鉴》(1524),程大位著《算法统宗》(1592)。实际还有多种,唯程大位著,几乎成为伟大论著。论文化远不如吴、王,论实用,成为人人必读。他从人民生活实用开始,怎样计算柴米油盐,怎样用尺、秤,文字通俗易懂,很容易普及。全中国都学那本教材,日本、朝鲜以及东南亚各国通过华侨也学那本教材,当时学,后代人也学,各印书厂商一直在印。民国三十几年还有新版。数学家魏庚人为程著《算法纂要校正》出版写序言,说程著“印量之多,流传之广,实属罕见。”

第四大辉煌时代,当属1979年11月中国珠算协会成立之后的二十几年,各省,省属,市、县都成立珠协。各项活动(如普及教育、技术比赛、等级鉴定三项,每年每项都过百万人次,声势很大,活动之多,史无前例。为1991—1992,四大单位(财政部、广电部、中央电视台,中国珠算协会)联名举办《珠算科技知识》电视大赛,250万人报名,刻苦学识《珠算科技知识》,当中央电视台演播厅比赛时,中央部长级干部不下三人。

再从珠算教学角度介绍一下:中央广播电视大学1983年首开珠算课,在册学员近百万。中国珠算协会副会长,兼秘书长李新,被聘任主讲教师,教材主编,亲临讲授,教材是“创新”的,名为《五字珠算法》,加减乘除各用五个字:

加:上、合、加、进、升;

减:去、分、减、退、落;

乘:单、双、半、减、调;

除:一、二、五、返、补。

不用一句传统口诀,采因题制宜,随机应变算法。共用20课时(每课时50分钟)讲完。电大生一般来自考大学未成者,他们有一定的理解能力,如中国人民银行,当年录取1.1万多人,通过“电大”学珠算,成功率(结业)达99.70% 向全国发了通报。

珠算事业,一度多么辉煌!

(五)珠算贡献的人及事:

汉代:《九章算术》、《数术记遗》;

南北朝:《孙子算经》、《张邱建算经》;

唐代:陈从远《得一算经》,江本《一位算术》、《三位乘除》;

宋代:贾宪《皇帝九章算经细草》、《增乘开方法》、《谢察微算经》、《盘珠算法》、《光盘集》、《杨辉算经》;

元代:朱世杰《算学启蒙》、贾亨《算学全能集》、丁聚算法;

明代:严恭《通原算法》、吴敬《九章详注比类算法大全》、王文素《算法宝鉴》、徐新鲁《盘珠算法》、柯尚迁《数学通轨》、程大位《算法统宗》、黄龙吟《算法指南》;

清代:李长茂《算海说详》、方中通《数度衍·珠算》、沈士桂《简洁易明算法》、梅毂成《增删算法统宗》、潘逢禧《算学发蒙·珠算》;

民国:蒋世荣《珠算增减法》、华印椿《珠算速记法》、陈耿光《笔珠教学法》、俞子夷《笔珠结合法》、王善彰《实用珠算》、李文熙《珠算教材》;

新中国:华印椿《财经珠算》、《珠算教程》,余介石《经济计算教程》,王守义《三算结合新算法》,姜士贤《珠算精练法》,姚克贤《通用珠算》,朱永茂《综合珠算》,沈百英《珠算常识与珠算教法》,李新《五字珠算法》,《正员珠算法》等。

(六)珠算对于现代社会的意义及功勋

珠算是中华民族传统的宝贵文化遗产之一,历千百年而不衰,这是什么原因?是文化与科学技术结合,给社会带来极大的利益。从文化角度而言,它属于社会科学,有意识形态因素。中国共产党第十七届六中全会,以全党的名义,大抓文化体制改革,推进社会主义文化大繁荣,大发展。这必然包括传统文化之一,珠算;它是经济计算的利器,是经济发展与人民生活时不能缺少的计算工具。正因为这么重要,联合国教科文组织,于2013年12月4日,批准中国珠算列入“人类非物质文化遗产名录”。这还不是目的,珠算还有很多潜能,不能因入遗而止步,还须传承与发展。即向人们易会,实用,启智。速算方向发展。

(七)现代社会对于珠算的保护举措

现代社会是电子计算机社会,似乎珠算该进入“博物馆”了,这是偏见,是不了解珠算存在的意义。

这该分析珠算与电算的优劣了。电算的最大优点是不用脑,但是这又是它致命的劣势;人脑如果不用,脑力会衰退。国家为人们开发脑力花多大代价:大专院校,科研院所,国外留学,颁发文凭,为什么,是促进人们脑力发达。珠算用脑,促进人们思维敏捷,正是国家培养人才之所需,怎会因用脑而而弃之不用?

还有自然数只有1——9,而算盘每档正式1——9。不论一个数有多少位,在四则运算中,从左向右,一顺而下。“0”不动珠,比电算上下左右按键,又按“0”,还有“+、-、×、÷、=”多种符号键,珠,电两者相比,珠算“简而快”。计算加减尤其省功、省力、省时。因梁下“一个珠”靠梁。即使一元,也可是一亿元或一厘、一毫。电算要以“0”补助。一亿即“1”加八个“0”;一分须“0.01”。珠算“0”是空挡。且珠算永无故障,不会“缺电”代价较低。会珠算的人,一般对少位数不用练功,也只答数。如15+20、100-30、1.06+1.04或80×6……因脑中一看题就知答数。所以,中国人对少位数加,减,乘,除都因“传统文才”自然会算。珠,电两种工具,优与劣,与是否用大脑,大有关系。因多种需要,电算要发展,珠算是中国人的传家宝,也不能丢。各取所长,才是聪明。

(八)住算及珠心算高手的成就

高手是珠算技术训练问题。在二十世纪八十年代,中国珠算技能远不如日本,韩国。他们比中国早25年就建立珠算教育联盟。如加、减算,日本珠算水平,相当多的人一分钟能计算500个数。而中国过不了200个数的关。但是,中国珠算技能从1990年起,已赶过日本水平,以后又有大的提高。到1997年,中国珠算高手,加减算每分钟超过1000数字。成算4位乘5位——5位乘6位大难度题型,在一分钟内计算40题左右,平均每题写答数不到两秒。除算,也是大难度题,每分钟填答数25题左右,每题平均不到三秒。这实际上已经到了极限了,再快已经不可能啦。因为写答数也是需要时间的。

这是为赶超国际水平特意训练的。计算方法名为“一口清”,编成29句进位律。由一位乘多为“一口清”,再慢慢进步到多位乘多位。选手也不是一步到位。先从有关省市选出特殊选手,集中一块在强化培训。我们在现场看过,也在电视上看见过,那些高手一不用算盘,二没有心算时间,只见他(她)们低头写答数,所谓比赛就是比看谁写答数快。当今的中国珠算技术世界无双已有20年之久。

讲成就是谁,1981-1984是黑龙江王建军,1985-1990是吉林李欣,1991-1995是浙江慈溪市,1995以后是武汉解放军经济学院。也就是该学院教练王卫达培训的选手古今中外无双。

(九)(有关两弹一星的发射的计算,是否用的是算盘,估计是的,因为当时中国没有大型计算机,但是我未见过准确文字。)

(十)算法推演过程

太复杂了。仅华印椿先生写《中国珠算史稿》专写“算法演变”就论述十四章。从第132页起写到483页,约25万字。为看《中国珠算大全》,篇幅量还大得。

计算方法,讲简单、明白、易会,是明代吴敬著《九章详注比类算法大全》(1450),其中论算法,有《乘除易会算诀》,用七言八句诗表达:

乘法除双还倍数,须知去一要添原。

归除满法过身一,实无折半当身五。

不用九归并小九,只将二十字为先。

乘除加减皆由此,万两黄金不与传。

(引华印椿《中国珠算史稿》第183页)

从这八句中再精选一下,就是二十个字:

除双还倍数,去一要添原。

满法过身一,折半当身五。

从这二十个字再精选一下:

“双,倍”,是一个数加一番,如25+25=50    75+75=150

加一番,不要演算,而是一看题就知。如2×18即知是36,36×2即知是72,2×72即知是144,144×2即知是288。
讲“去一要添原”,是讲1乘任何数,去1加乘数,包括个、十、百、千、万乘以任何数,直写答数,但按需要补0,10乘某数,某数加一个0,百乘某数,某数补两个0……

“满法过身一”,讲被除数够除,叫“满法”,“过身一”是指:从除数(法)前(左边)“过身一”即隔一空挡加一,(指商数),从被除数高位减去一个除数。这是数的“位值”。

“折半当身五”,是指被乘数是“5”,去5,乘数换位上半数。(等于10倍折半)

这二十字,四句话,只讲三个字:

“去一要添原”是指1×某数或某数÷1,简称“单”

“除双还倍数”是指2×某数或某数÷2,简称“双”

“折半当身五”是指5×某数或某数÷5,简称“半”

单(1),双(2),半(5),三个字,用组合分解法,能管1~9.把乘法高倍数,都化为低倍数。用倍数加法,不用口诀。

除法也这样,被除数够除,商加一,法减单。够2倍,商加2,法减双。够5个除数(因5倍有进位,故够除数半数),商加5,法减半。

三个字“单、双、半”怎么和1~9组合分解?

1×某数,还是某数,不用演算,称加“单”;

2×某数,某数变双,不用演算,称加“双”;

5×某数,某数折半(当作10倍变半)称加“半”。

凡1,2,5乘任何数,不用演算,一次上盘,即是答数。

那么还有3,4,5,6,7,8,9六个数,用组合分解,就可演算了。例如:

3×某数,双加单,如 3×25=50+25

4×某数,双加双,如 4×62=124+124

6×某数,半加单,如 6×45=225+45

7×某数,半加双,如7×66=330+132

8×某数,单(10)-双,如8单(10)-双38=380-76

9×某数,单-单,如9×85=850-85

这样的例子明白了,多位数也这样办。显出不用口诀,机动灵活。

除法是乘法的反运算。因一顺而下,组合分解,讲乘除法,简单讲约三,五个课时,仔细讲约八九个课时,(已会加,减法,更容易会)要练功(仅明白了是远远不够的),需勤学苦练,勤能补拙。

乘法:乘法不变,被乘数随便变,可一通百通。

例如:

被乘数×乘数=积数,用单,双、半调整

12×38=456(2,用双:1,用单,76+380=456);

25×38=950(5,用半,190+(2,用双,760);

303×38=11514(3,用单双,38+76=114,移数前移加11400=114+11400);

24×38=912,用双双:76+76+760  ;

36×38=1368,用半,双,单(用半,单,3,用双,单);

47×38=1786用半,双(7)150(半)+76(双)(4)40(双双)760+760。

再简单一些:

5×38,38折半,直写190(38×10折半);

6×38,折半加单:190+38=228;

7×38,折半加双:190+76=266;

8×38,380-76(乘10=380减双76)=304;

9×38(380-38)=342;

乘法有交换律,把容易计算的数作被乘数,比较难的作乘数。

什么容易算?如1.2.5.0,或位数少的数。

讲除法,也是从被除数中减除数,能减多少除数,就是多少商数。除不尽的,商数都用就算了,余下的四舍五入。
加商减除数,也是“单,双,半,不用口诀”。

单,双,半,是明代吴敬二十字的杰作。(附简作《新珠算法》)

(十一)珠算原理:“五升十进”。乘法是连加同数之和。连加演化“九九歌”,又演化29句进位律。(一口清),又演到单,双,半,即一,二,五倍加,凑十法。珠算泰斗华印椿先生,在他编著《中国珠算史稿》第209页,作过小结,说:

“金蝉脱壳法是传统的民间算法。这种算法刚产生时,运算比较麻烦。以后经过不断改进,计算方法由“二字奇法”逐步发展到一,二,五倍,又补充了“凑十法”,现在已同心珠结合快速乘除法融为一体,速度大为提高”。华先生是倾向一,二,五倍法的。

除法原理,是同数连减之差。通俗点说,是份数分配法。被除数是多少数,按除数分多少份。

如 185÷28,就把185分为28份。分份要简易,故产生除法。除法分份发展成“九归歌”一句口诀,可说明四个数:

被除数,除数,商数,余数。看来很科学。但口诀多了,学习时难记,记住了还得兼背诵。算盘用“上二下五”珠。现算盘都是“上一下四”,这势必放弃“九归歌”,改用“九九歌”乘减。为人们不用口诀,改单,双,半了,“九九乘减”也不用了。这是珠算演变一大进步。

(十二)珠算教法演变过程

教法还是多种多样。因师范院校无珠算课,这就把珠算否定了。千百年来,珠算一直没有“名正言顺”的正规教材,也无有文凭的合格教师。

社会上需要珠算,教育部门又不正式编教材,(他们不懂,很难编正规教材)只能靠民间自动性的流传,故多种多样。

据知,在联合国教科文组织,批准中国珠算列入“人类非物质文化遗产名录”之后,中珠协想协助教育部编珠算正规教材,但是谁有资格,还有争论。“专家”多是临时称呼。谁也没有合法凭证。现在是最“糊涂”阶段。当然,今后会解决好这个问题。

(十三)珠算在民间应用问题,以及老百姓的影响

民间用珠算,从有珠算之日起,就是靠民间。大多靠传统口诀。老百姓们,读书不多,珠算也未正式学过,一般靠家里人“言传身教”。靠做生意的人互相传授,靠客观“必须”,不懂点数,不懂点算,真不行。但民间用珠算一般是少位数的加、减、乘、除,用什么学什么,不要求理论,只要求常用口诀,有难处时请明白人帮算一下。

但是在电子计算器发展和普及之后,珠算已失势头。除非乡镇企事业和民居家庭中有人祖传珠算,会用的还在用,点算虽然很省力,也不学不用,当然,这个过程会改变。除非珠算简易法普及开,易学才爱用。

(十四)珠算,是哲学,数学的一部分。哲学,讲矛盾统一,非常了不起。最古老哲学是老子《道德经》近现代是恩格斯“唯物辩证法”,毛泽东的《矛盾论》,《实践论》充满着哲学。并论述到:“数学就是正与负,微分与积分。”“数学充满着‘矛盾’(见‘矛盾论’)珠算,是数学的分支,也充满着矛盾。算盘,算珠,离梁,靠梁是正负关系,加减是正负关系,乘除是倍数正负关系。”“正负”是矛盾。

人们关注“学而致用”。自己学会“打算盘”,已有满足感,不做理论家,研究哲学是苦差事,一般人真的不把用与哲理当一回事。

(十五)珠算是以珠算运动为工具,每位五个珠,上一,下四,与数学上的1~9设有两样,只有用阿码1.2.3.4.5.6.7.8.9,表示“9”为最大值。这比中国传统的用竹片为筹码,用文字简化为数码先进多了。用珠算记数比用阿码方便多了。比用电算及复用“0”,用键码也迅速多了。“1”可代1,又可代亿,“0”不动珠,又可反映到心算,用眼一看,“胸中有数”,实在珠算功不可没。珠算像脑算发展,脑中有珠,是人们数字聪明,头脑灵敏的相得益彰之佐证。

当然,珠算要发展,还不能自满。在电算器普及下,不要争长论短。优势,自然是形成的。我们利用珠算某种优势,再加发展,甘作电算补充,让珠算,电算各自发挥长处,取长补短,有机会与电算共存就可以了。维护珠算的存在,是中华民族继承祖先文化遗产的职责,义不容辞!

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